Dwumian Newtona

Nieraz spotykamy się z wzorami typu . Oczywiście jest wzór, który pozwala rozpisywać takie wyrażenia i nazywamy go Dwumianem Newtona. Oto on:

Przy każdym współczynniku mamy postać symbolu Newtona, który przyjmuje wzór:

Jednak stosowanie tego wzoru w praktyce, szczególnie przy rozbudowanych wyrażeniach nie jest wygodne. W dodatku nie każdy jeszcze w klasach młodszych spotkał się z symbolem silni n!.

Trójkąt Pascala

Okazuje się, że współczynniki symbolu Newtona tworzą specyficzny trójkąt. Zaobserwuj, zmieniając wykładniki kolejnych potęg wyrażenia , jakie liczby odpowiadają kolejnym współczynnikom we wzorze dwumianu. Zmieniaj również znaki + i - oraz obserwuj sumę wykładników w poszczególnych wyrażeniach rozłożonego wyrażenia.

Dwumian Newtona a trójkąt Pascala

Dwumian Newtona, a trójkąt Pascala.

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, Utworzony z GeoGebra

Co można zaobserować

1°

Kolejne wiersze powstają poprzez dopisywanie kolejnych 1 na bokach trójkąta, a poszczególne wyrazy wewnątrz trójkąta powstają przez dodawanie dwóch wyrazów z poprzedneigo wiersza znajdującęgo się nad wyrazem, który należy zapisać np. liczba 4 powstała z zsumowania liczby 1 i 3, które się nad tą liczbą znajdują. 

2°

Zawsze suma wykładników w kolejnych wyrażeniach jest równa n.

3°

Kolejne wykładniki przy liczbie x maleją o 1 zaczynając od n, a kolejne wykładniki przy y rosną o 1 zaczynając od 0.

4°

Jeśli pomiędzy x i y znajduje się "+", to wszystkie wyrażenia są dodatnie, a jeśli "-", to znaki piszemy przemiennie zaczynając od "+".

Zadanie

Posługując się zdobytą wiedzą rozpisz wyrażenie , a potem sprawdź za pomocą poniższej planszy czy dobrze zrobiłeś.

Jak skorzystać z trójkąta Pascala

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, 25 Styczeń 2013, Utworzony z GeoGebra